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数学

今回の話は専門的かつ長くなります
俺の素朴な疑問を少し書き記したものです

数学大好きな人は集まれ~



まずはこの問題をご覧ください↓(クリックで拡大)
math.png

こいつを証明するために俺は下記のとおりに解きました。


1+cosθ+cos2θ+・・・+cos(nθ) にsin(θ/2)をかけると

sin(θ/2){1+cosθ+cos2θ+・・・+cos(nθ)}
=sin(θ/2)+sin(θ/2)cosθ+sin(θ/2)cos2θ+・・・+sin(θ/2)cos(nθ)

ここで、sinαcosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/2  を利用して上式を整理すると

sin(θ/2)+{sin(3θ/2)-sin(θ/2)}/2+{sin(5θ/2)-sin(3θ/2)}/2+
・・・+{sin(2n+1)θ/2-sin(2n-1)θ/2}/2
={sin(θ/2)+sin(2n+1)θ/2}/2
=sin{(n+1)θ/2}cos(nθ/2)

よって、
sin(θ/2){1+cosθ+cos2θ+・・・+cos(nθ)}=sin{(n+1)θ/2}cos(nθ/2)となるので
両辺をsin(θ/2)で割ると
1+cosθ+cos2θ+・・・+cos(nθ)=[sin{(n+1)θ/2}cos(nθ/2)]/sin(θ/2) が得られる。_//


とまぁ、こんな感じ。
一応は証明できました。



本題はここからなのですが、
この証明の仕方ではどうしても天下り的で、
俺としては「とりあえずやってみたらうまくいったパターン」な解き方がいやなので
本音を言うと複素関数の等比級数を使って証明したいと思ったのです。↓こんなかんじに。

iは虚数として、
z=exp(iθ)とする。
1+z+z^2+z^3+・・・+z^n={1-z^(n+1)}/(1-z) 

この式にz=exp(iθ)を代入して実数部をとると

1+cosθ+cos2θ+・・・+cos(nθ)=[1-cosθ-cos(n+1)θ+cos(nθ)]/2(1-cosθ)

ここまでは整理したのですが、
こっから先で半角の公式やらいろいろ使って計算しても右辺がきれいになりませんww

途中の計算をミスったか
あるいは何か俺が公式を忘れているのか?


誰か助けてくださいw
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